「BJOI2014」大融合-LCT

小强要在 $N$ 个孤立的星球上建立起一套通信系统。这套通信系统就是连接 $N$ 个点的一个树。这个树的边是一条一条添加上去的。在某个时刻，一条边的负载就是它所在的当前能够联通的树上路过它的简单路径的数量。

现在，你的任务就是随着边的添加，动态的回答小强对于某些边的负载的询问。

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Luogu P4219

题解

我们发现其实就是边两端的点的个数乘起来就可以了。

我们在普通 LCT 的基础上多维护一个 $vsiz$ ，表示虚子树的 $siz$ 的大小之和。

我们发现这个 $vsiz$ 的维护只需要在 access 和 link 函数里面完成，在这两个函数里面修改微小的一点，注意虚子树的增减即可。

答案就是两个点对应的虚子树的 $vsiz + 1$ 再乘到一起即可，因为查询的两个点是连在一起的。

时间复杂度 : $O(n \log n)$

LCT 细节一定注意！

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN = 110000;

namespace LCT{
  int c[MAXN][2],f[MAXN],siz[MAXN],vsiz[MAXN];bool r[MAXN];
  bool noroot(int x){return c[f[x]][0] == x || c[f[x]][1] == x;}
  void rev(int x){swap(c[x][0],c[x][1]),r[x]^=1;}
  void push_down(int x){if(r[x]) rev(c[x][0]),rev(c[x][1]),r[x] = 0;}
  void push_all(int x){
    static int S[MAXN];S[0] = 0;
    S[++S[0]] = x;
    while(noroot(x)) x = f[x],S[++S[0]] = x;
    for(int i = S[0];i>=1;--i) push_down(S[i]);
  }
  void push_up(int x){
    siz[x] = siz[c[x][0]] + siz[c[x][1]] + vsiz[x] + 1;
  }
  void init(int n){for(int i = 1;i<=n;i++) push_up(i);}
  void rotate(int x){
    int y = f[x],z = f[y],t = c[y][1] == x,w = (c[x][1-t]);
    if(noroot(y)) c[z][c[z][1]==y] = x;
    c[y][t] = w,c[x][1-t] = y;
    if(w) f[w] = y;
    f[y] = x,f[x] = z;
    push_up(y),push_up(x);
  }
  void splay(int x){
    push_all(x);
    while(noroot(x)){
      int y = f[x],z = f[y];
      if(noroot(y)){
        (c[y][1] == x) ^ (c[z][1] == y) ? rotate(x) : rotate(y);
      }rotate(x);
    }
  }
  void access(int x){
    for(int y = 0;x;x = f[y=x]){
      splay(x);
      vsiz[x] += siz[c[x][1]];
      vsiz[x] -= siz[c[x][1] = y];
      // 考虑到新接上来的 y 的 f[y] 一定是 x ， 相当于减去一堆虚子树
      // push_up(x); 我们注意到 siz[x] 事实上不会变
    }
  }
  void makeroot(int x){access(x),splay(x),rev(x);}
  void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
  void link(int x,int y){
    split(x,y);
    f[x] = y,vsiz[y] += siz[x];
    push_up(y);
  }
  ll query(int x,int y){
    split(x,y);
    ll a = vsiz[x]+1,b = vsiz[y]+1;// 非子树 siz 就 win 了
    return a * b;
  }
}

int n,q;

void init(){
  scanf("%d %d",&n,&q);
  LCT::init(n);
}

void solve(){
  for(int i = 1;i<=q;i++){
    char s[5];int x,y;
    scanf("%s %d %d",s,&x,&y);
    if(s[0] == 'A') LCT::link(x,y);
    else printf("%lld\n",LCT::query(x,y));
  }
}

int main(){
  init();
  solve();
  return 0;
}

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