定义一个完全二叉树树高为根节点到叶子节点经过的边数。
给定一个树高为 $h(1 \le h \le 30)$ 的完全二叉树,其中第 $x$ 个节点的左儿子为第 $2x$ 个节点,右儿子为第 $2x+1$ 个节点。
现在有 $q(1 \le q \le 10^{5})$ 个,分为两种操作:
add v e
( $1 \le v \le 2^{h+1}-1,1 \le e \le 10^4$ )表示给第 $v$ 个节点的权值加 $e$ 。decay
操作。我们在这个二叉树里面以等概率选择一个叶子节点,将这个叶子节点到根的路径上所有的边都删去。在删除后,树会形成若干个联通块,我们定义某个联通块的的权值为这个联通块内所有节点的权值之和。我们定义删除后的树的权值为形成的所有联通块的权值的最大值。请你求出这个值的期望。每次删除后会恢复所有删除的边。
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题解
考虑我们在树上随机走出一个路径。我们发现,我们每个地方相当于有两个决策:往左走,往右走,两个的概率是相同的。
我们如果设当前节点为为 $x$,那么往左走的话就会产生一个完全不会更改的联通块($sum[rs[x]] +v[x]$)。如果存在 $sum[rs[x]] + v[x] \ge sum[ls[x]]$ 这个时候我们发现,接下来我们怎么走,产生的联通块都不会比已经产生的这个 $sum[rs[x]] + v[x]$ 大。所以我们就不用走 $sum$ 较小的那边了,因为它们的贡献已经可以计算了。
这样的话我们每次决策都可以只走一边,同时计算出剩下的一边的所有答案之和。在走的过程中维护一下已经存在的联通块的最大值即可。
加的话直接暴力在树上维护一个子树和即可。
时间复杂度:$O(q \times h)$
代码
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