阿申准备报名参加 $GT$ 考试，准考证号为 $n$ 位数 $X_1X_2\cdots X_n(0\le X_i\le 9)$，他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数字 $A_1A_2\cdots A_m(0\le A_i\le 9)$ 有 $m$ 位，不出现是指 $X_1X_2\cdots X_n$ 中没有恰好一段等于 $A_1A_2\cdots A_m$，$A_1$ 和 $X_1$ 可以为 $0$。
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模 $K$ 取余的结果。
链接
Luogu P3193
题解
显然dp…
令 $dp[i][j]$ 为准考证已经匹配了 $i$ 位，不吉利数字（模版）最长可以匹配了 $j$ 位的方案数。
下一位有 $10$ 种情况，在 $nex$ 数组上分别转移即可。
注意到 $n$ 的大小比较大， $m$ 的大小比较小，可以用矩阵快速幂化掉第一维。
时间复杂度: $O(m^3 \times \log{n})$
代码
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| #include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXM = 30;
int n,m,k;
char s[MAXM];
int nex[MAXM];
struct Matrix{
int a[MAXM][MAXM];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};
Matrix mul(Matrix &_a,Matrix &_b){
Matrix ans;
for(int i = 0;i<=m;i++){
for(int j = 0;j<=m;j++){
for(int k = 0;k<=m;k++){
ans.a[i][j] += _a.a[i][k] * _b.a[k][j];
}
if(ans.a[i][j] >= k) ans.a[i][j] %= k;
}
}
return ans;
}
Matrix pow(Matrix x,int k){
Matrix ans;
for(int i = 0;i<=m;i++) ans.a[i][i] = 1;
for(int i = k;i;i>>=1,x = mul(x,x)) if(i & 1) ans = mul(ans,x);
return ans;
}
void init(){
scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
scanf("%s",s);
}
//dp[i][j]表示已经匹配了i位，模版已经匹配了j位
void get_next(){
nex[0] = 0;
int j = 0;
for(int i = 1;i<m;i++){
while(j > 0 && s[i] != s[j])
j = nex[j-1];
if(s[i] == s[j]) j++;
nex[i] = j;
}
}
void solve(){
get_next();
Matrix tmp;
for(int i = 0;i<m;i++){
int t = i;
for(int w = '0';w<='9';w++){
t = i;
while(t > 0 && s[t] != w)
t = nex[t-1];
if(s[t] == w) t++;
tmp.a[t][i]++;
}
}
tmp = pow(tmp,n);
int ans = 0;
for(int i = 0;i<m;i++){
ans += tmp.a[i][0];
}
ans %= k;
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
init();
solve();
return 0;
}
|
