「SHOI2012」随机树-期望dp

题面以图片显示，请点击“阅读全文”查看。

链接🔗

题解🔗

这题有两问。

第一问🔗

如果令 $d p [x]$ 为有 $x$ 个叶节点的时候叶节点的平均深度，那么有如下方程：
$\begin{aligned} d p [x] & = \frac{(x - 1) d p [x - 1] - d p [x - 1] + 2 \times (d p [x - 1] + 1)}{x} & = d p [x - 1] + \frac{2}{x} \end{aligned}$

初始 $d p [1] = 0$ ， $O (n)$ 递推或者搞一搞通项即可qwq。

第二问🔗

树的深度不太好搞。

定理：
$E (x) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} P (i \leq x)$

感性理解：大小为 $x$ 的可能性就会被从 $i = 1$ 到 $i = x$ 一直累积，累积正好就是 $x$ 次，就是这种可能性的值，所以这个式子的值就是期望。

所以我们只要求出在树的叶节点有 $x$ 个的时候，求出树的深度 $i$ 大于 $1$ ，大于 $2$ ，…，一直到大于 $n - 1$ 的概率，然后求和之后就是树的期望深度了。

令 $d p [x] [j]$ 为有 $x$ 个叶节点时树的深度大于 $j$ 的概率，因为展开在两侧时完全等概率的，所以我们有如下方程：

$d p [x] [j] = \frac{1}{x - 1} (\sum_{i = 1}^{x - 1} d p [i] [j - 1] + d p [x - i] [j - 1] - d p [i] [j - 1] \times d p [x - i] [j - 1])$

很简单的容斥。转移即可。注意一下边界，和根结点深度为0即可。

代码🔗

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN = 200;

double cal(int n,int op){
    double ans = 0;
    if(op == 1)
        for(int i = 2;i<=n;i++) ans += (2/double(i));
    else {
        static double d[MAXN][MAXN];
        for(int i = 1;i<=n;i++)
            d[i][0] = 1;
        for(int i = 2;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<i;j++){
                for(int k = 1;k<=i-1;k++)
                    d[i][j] += d[k][j-1] + d[i-k][j-1]- d[k][j-1] * d[i-k][j-1];
                d[i][j] /= (i-1); 
            }
        }
        for(int i = 1;i<=n-1;i++)//从1开始枚举
            ans += d[n][i];
    }
    return ans;
}

int main(){
    int q,n;
    scanf("%d %d",&q,&n);
    printf("%lf\n",cal(n,q));
    return 0;
}