题面以图片显示，请点击“阅读全文”查看。
链接
Luogu P3830
题解
这题有两问。
第一问
如果令 $dp[x]$ 为有 $x$ 个叶节点的时候叶节点的平均深度，那么有如下方程：
$$
\begin{aligned}{}
dp[x] &= \frac{(x-1)dp[x-1] - dp[x-1] + 2 \times (dp[x-1]+1)}{x}\\
&=dp[x-1] + \frac{2}{x}
\end{aligned}
$$初始 $dp[1] = 0$ ， $O(n)$ 递推或者搞一搞通项即可qwq。
第二问
树的深度不太好搞。
定理：
$$
E(x) = \sum _ {i=1}^{+\infty} P(i \leq x)
$$感性理解：大小为 $x$ 的可能性就会被从 $i = 1$ 到 $i = x$ 一直累积，累积正好就是 $x$ 次，就是这种可能性的值，所以这个式子的值就是期望。
所以我们只要求出在树的叶节点有 $x$ 个的时候，求出树的深度 $i$ 大于 $1$ ，大于 $2$ ，…，一直到大于 $n-1$ 的概率，然后求和之后就是树的期望深度了。
令 $dp[x][j]$ 为有 $x$ 个叶节点时树的深度大于 $j$ 的概率，因为展开在两侧时完全等概率的，所以我们有如下方程：
$$
dp[x][j] = \frac{1}{x-1}(\sum _ {i=1}^{x-1} dp[i][j-1] + dp[x-i][j-1] - dp[i][j-1] \times dp[x-i][j-1])
$$很简单的容斥。转移即可。注意一下边界，和根结点深度为0即可。
代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
| #include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 200;
double cal(int n,int op){
double ans = 0;
if(op == 1)
for(int i = 2;i<=n;i++) ans += (2/double(i));
else {
static double d[MAXN][MAXN];
for(int i = 1;i<=n;i++)
d[i][0] = 1;
for(int i = 2;i<=n;i++){
for(int j = 1;j<i;j++){
for(int k = 1;k<=i-1;k++)
d[i][j] += d[k][j-1] + d[i-k][j-1]- d[k][j-1] * d[i-k][j-1];
d[i][j] /= (i-1);
}
}
for(int i = 1;i<=n-1;i++)//从1开始枚举
ans += d[n][i];
}
return ans;
}
int main(){
int q,n;
scanf("%d %d",&q,&n);
printf("%lf\n",cal(n,q));
return 0;
}
|
