有一个球形空间产生器能够在 $n$ 维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个 $n$ 维球体中，你只知道球面上 $n+1$ 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 $n$ 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
提示：给出两个定义：
- 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
- 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为$(a_1, a_2, \cdots , a_n)$ , $(b_1, b_2, \cdots , b_n)$，则 AB 的距离定义为：$dist = \sqrt{ \sum _ {i=1}^{n}(a_i - b_i)^2 }$
链接
Luogu P4035
题解
设圆心为 $(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ 。
则我们有 $n$ 个式子，形如
$$
\sum _ {i=1}^{n}(p[j][i] - x_i)^2 = \sum _ {i=1}^{n}(p[j+1][i] - x_i)^2
$$
化简得到
$$
\sum _ {i=1}^{n}(p[j][i]^2 - 2p[j][i] \cdot x_i) = \sum _ {i=1}^{n}(p[j+1][i]^2 - 2p[j+1][i] \cdot x_i)\
\sum _ {i=1}^{n} [2(p[j+1][i]-p[j][i]) \cdot x_i] = - \sum _ {i=1}^{n}(p[j][i]^2 - p[j+1][i]^2)
$$
高斯消元即可…
代码
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| #include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
double squ(double x){return x * x;}
const int MAXN = 410;
int n;
double p[MAXN][MAXN];
void init(){
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i<=n+1;i++){
for(int j = 1;j<=n;j++){
scanf("%lf",&p[i][j]);
}
}
}
bool gauss(int n,double a[MAXN][MAXN]){
for(int i = 1;i<=n;i++){
int r = i;
for(int j = i+1;j<=n;j++){
if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i])) r = j;
}
if(fabs(a[r][i]) <= eps) return false;
if(r != i){
for(int j = 1;j<=n+1;j++)
swap(a[i][j],a[r][j]);
}
for(int j = 1;j<=n;j++)if(j!=i){
double d = a[j][i]/a[i][i];
for(int k = 1;k<=n+1;k++){
a[j][k] -= d * a[i][k];
}
}
}
for(int i = 1;i<=n;i++){
a[i][n+1] /= a[i][i];
a[i][i] = 1;
}
return true;
}
void solve(){
static double a[MAXN][MAXN];
for(int j = 1;j<=n;j++){
for(int i = 1;i<=n;i++){
a[j][i] = 2 * (p[j+1][i] - p[j][i]);
a[j][n+1] -= squ(p[j][i]) - squ(p[j+1][i]);
}
}
gauss(n,a);
for(int i = 1;i<=n;i++){
printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
}
printf("\n");
}
int main(){
init();
solve();
return 0;
}
|
